В квартире родителей моей супруги около пяти лет назад делали ремонт. Старые полы там были такие же, как у вас, т.е., из "клеточек паркета".
Вскрытие показало, что паркет этот лежал на лагах.
Так как старый пол был в состоянии не подлежащем восстановлению, то он был демонтирован. Прямо на то, что осталось (т.е. на пол без стяжки) были установлены лаги, на них положено 2 слоя фанеры толщиной 1 см. каждый и на эту фанеру был уложен паркет.
За пять лет проживания в этой комнате с полом ничего не случилось.
Во второй комнате той же квартиры старый пол был более-менее живой. Так как стояла задача сделать ремонт с минимальным бюджетом, то были раздобыты несколько таких же "паркетных квадратов" и просто заменены старые сломанные на новые.
Квадраты высматривались по окрестностям, так как весь район строился в одно время и везде стоят такие же полы. При этом, народ делает ремонты и регулярно около какого-нибудь из подъездов выкидывается старый пол, из которого вполне можно набрать несколько нужных кусков "на запаску".
Так же можно просто спросить у ближайшего местного "твоя-моя дворы мету" и за символическую сумму он сам найдет для вас искомые деревяшки.
Однако, вернусь к вопросу пола на лагах.
В тот раз пол делал не я, а рабочие и весь процесс досконально я не видел.
В своем жилище данные полы я делал сам: на балконе и в кладовке.
На балконе я так же положил 2 слоя фанеры толщиной 0,9 см. В качестве лаг использовал брус 50*50. Крепился к полу на дюбель-гводзи.
В принципе, пол лежит отлитчно. Правда, пока лаги лежали сами по себе, не схваченные фанерой, а только на дюбель-гвоздях, они слегка болтались.
Поэтому, в кладовке я крепился немного иначе: в пол засверливал дюбеля, а лаги крепил на саморезах, закручиваясь в эти самые дюбеля. Возни было, конечно, чуть по больше, но, зато, лаги держались крепче.
Хотя, в принципе, думаю, это не очень принципиально, так как они все равно будут держаться, прикрепленные к фанере, т.е., ездить все равно им некуда.
Так же в кладовке я положил 3 слоя фанеры. Во-первых, мне надо было выйти на общий уровень пола, а, во-вторых, я хотел сделать, на всякий случай, пол по крепче, так как там поставлен здоровенный тяжелый шкаф.
В оба помещения, прямо поверх фанеры я постелил линолеум. (Вернее, в кладовке уже постелил, а на балконе еще нет, так как не купил еще 
).
Бруски на лаги подбирайте такого размера, чтобы выйти на нужную вам, в итоге, высоту пола, с учетом слове фанеры и чистового покрытия...