Действительно, думаю, что наиболее подходящий клей здесь - ПВА. Он и дерево хорошо клеит, и при высыхании становится бесцветным.
Учитывая, что рамка деревянная, наверняка сопрягаемые кусочки имеют, скажем так, "игольчатый" вид.
Учитывая, что профиль рамки полукруг, удобно старые кусочки стыковать, перемещая их навстречу друг другу плоскостью по поверхности стола.
Мажем ПВА места изломов (можно и с одно стороны) и собираем всю рамку на столе. Естественно, стыкуя обломки надо попытаться сделать так, чтобы обломки вошли друг в друга точно. Если этого удастся достичь, то полоска клея окажется очень тонкой - практически весь он выдавится.
Чем полоска клея тоньше, тем прочнее и незаметнее шов.
Чтобы рамка не приклеилась к столу, можно подложить кусок стекла. Ну или что-нибудь типа фольги.
С лицевой стороны излишки клея снимаем сразу влажной тряпкой.
Дайте хорошенько высохнуть - полдня хотя бы.
Если в результате склейки шов получится аккуратный, излишки клея лучше не сошкуривать (дабы не снять слой морилки, если поверхность мореная), а аккуратно срезать острым канцелярским ножем.
Покрыть лаком.
Если шов оказался неровным, придется шкурить. Мелкая шкурка накладывается на маленький деревянный брусочек, ее можно закрепить кнопками, а можно удерживать пальцами. Вместо бруска можно попробовать использовать большой и жесткий ластик (чем жестче, тем лучше)
Этим брусочком шкурим место стыка, пока оно не станет ощущаться на ощупь.
Дальше скорее всего придется купить морилку для дерева подходящего цвета и выровнять цвета.
Ну и лак поверх морилки.