Ну так если вы его не закроете, так и будет намокать и плесневеть. А за ним и брус загниет. Замазывать или смолить - разве это красивее будет, чем обшивка?
Можно использовать какую-нибудь антибактериальную пропитку, но не знаю, насколько это поможет. Но каждый год ее придется обновлять. Вообще-то джут не должен впитывать влагу. А он у вас торчит между бревен?