Красить натуральное дерево краской - сродни варварству. Конечно, надо как можно быстрее очистить пол и покрыть чем-нибудь заново. Тем более если лежит прочно.
Для этого надо проверить, как крепятся плашки (нет ли металла на поверхности: гвоздей, саморезов, шпилек и т.д.) и приступать к шлифовке. Для расшивания щелей есть специальные инструменты. Они могут не потребоваться, если краска не заполнила щели, что будет выясняться во время пробного шлифования.
Прокрасить паркет "насквозь" ни одна краска не сможет, пигмент не проникнет через волокна, расположенные поперёк. Поэтому речь, скорее всего, про слой краски + 0.5-1мм древесины.