Andrea_345, аккуратно демонтируйте проблемный участок. Используйте перфоратор или молоток с зубилом. Болгарку в жилой квартире не советую, пыли будет просто немерено.
Очистите основание боковые стенки старой стяжки от всего непрочного. Если как Вы писали поверхность основания испачкана чем-то препятствующим адгезии, сбейте этот слой или хотя бы наделайте в нем частые насечки.
Обеспыльте участок. Грунтовкой глубокого проникновения обильно пропитать основание и боковые стенки оставшейся стяжки. Повторить несколько раз после полного высыхания предыдущего слоя. В идеале обработанная поверхность должна перестать впитывать воду.Это важный этап подготовки основания.
Если будете заливать ЦПСкой, то купите нужное количество М150 или М300 (~20 кг. на 1 см. слоя) и 5 кг. пакет плиточного клея. Разведите небольшое количество клея пожиже и кисточкой нанесите его в качестве контактного слоя на основание и боковые стенки старой стяжки. Наносить надо тщательно втирая, но слой не должен получиться толще 2-3 мм.
Сразу после этого готовим раствор из остатков плиточного клея и ЦПС в соотношении 1/3 – 1/4. Воды добавляем по чуть-чуть, что бы на выходе получился полусухой раствор, по консистенции напоминающий влажную землю. Закладываем это все небольшими порциями в ямку, утрамбовываем и в конце ровняем поверхность.
Между нанесением контактного слоя и укладкой раствора должно пройти не более 15-20 минут, что бы контактный слой был еще «живой». В идеале подготовить все сразу и укладывать раствор сразу после контактного слоя.
Отремонтированный участок накрываем пленкой или еще чем то, для предотвращения испарения влаги. Исключаем любые сквозняки и прямой солнечный свет! В течение первых двух-трех дней поливаем стяжку и прилегающий к ней участок водичкой, лучше по чуть-чуть но почаще, что бы новая стяжка и прилегающие участки были не просто влажными, а мокрыми.
Пленку снимаем на пятый-седьмой день.
Если заливать полимерным или гипсовым наливным полом, то при выборе необходимо ориентироваться на данные производителя о мин.-макс.толщине слоя. На ум приходят Кнауф Трибон (10-60 мм.) и Unis Горизонт Универсальный (2-100 мм.).
Контактный слой из плиточного клея не нужен!
При приготовлении раствора воды добавляем по минимуму от указанного в инструкции (можно даже меньше минимума).
Заливаем раствор в яму и ждем затвердевания. Можно первые сутки накрыть пленкой. Поливать не нужно!
Плюсы первого способа: дешевле, из инструмента нужен только мастерок или шпатель, раствор мешаем в ручную в любом ведре или тазу. Минусы: больше этапов, необходимо ухаживать за стяжкой длительное время.
Плюсы второго способа: быстро. Минусы: дороже, нужен миксер или дрель для замешивания, т.к. в ручную нормально не размешаешь.
По поводу армирования. Смысла в армировании на таком маленьком участке я не вижу.