Там не гвоздь, потому что гвоздь туда не забить.
Там у вас саморез маленький, наверное просто кажется что гвоздь, из-за сорванных шлицов. Смотрите у Мишутк на картинке.
Сверлите любым сверлом в дырку аккуратно. Шляпу сосверлите ему, штырь должен выйти. Штырь болтается как в трёхлитровой банке, выйдет вместе с остатком самореза. Но штырь хрупкий, потому что тонкий, так что штырь старайтесь не сверлить. Потом в основании сделаете новую дырку, а старую законопатите чопиком, или залепите жвачкой и развернёте основание так чтобы ненужная дырка в потолок смотрела.
Ну, если не получится высверлить и сломается - придётся купить новую деталь, что ж делать.
На выходных точно такую же гардину предстоит вернуть назад на стену. Выбросить не дают, придётся как-то возиться с ней. Отвратительная вещь, если не на картинке, а в живую. Хоть и сделана из настоящего дерева (только вот эти крепления деревянные и кольца за которые шторы цепляются, труба конечно не из дерева).